“接下來，我將以愛因斯坦引力場方程爲例，向大家展示，如何通過龐氏幾何對引力場方程進行解析，從而求出該引力場方程的解析解……”
說著，龐學林拿起記號筆，在白板上寫下愛因斯坦引力場方程的公式。
Ruv-1/2guvR=8πG/c^4×Tuv
會場內(nèi)頓時響起了一陣嗡嗡嗡的聲音。
愛因斯坦引力場方程？
誰也沒想到，龐學林竟然會拿這個方程舉例。
這個方程看起來很簡單，但是將它展開後，將會得到10個聯(lián)立的二階非線性偏微分方程。
如果想要通過這個方程求解這一方程的精確解，其複雜程度足以讓任何人都爲之變色。
臺下，譚浩第一時間就明白了龐學林的想法。
“小龐教授這是要通過攀登一座高山，來證明龐氏幾何理論在求解非線性偏微分方程時的優(yōu)越性呀！”
譚浩眼中流露出一絲震撼之色。
譚浩看過龐學林那篇通過龐氏幾何求解非線性偏微分方程的論文，但那篇論文是純理論性的文章，從根本上告訴大家爲什麼龐氏幾何能求出非線性偏微分方程的解析解。
那種論文，一般專業(yè)的數(shù)學家看起來都非常吃力，其他領(lǐng)域的學者那就更加不用說了。
因此，假如能在報告會現(xiàn)場，通過龐氏幾何的方法，直接對一個經(jīng)典且難度極高的非線性偏微分方程進行求解，無疑更具說服力。
但問題是，愛因斯坦引力場方程真的可以求出解析解嗎？
目前，科學家們只求出了一定條件下的引力場方程精確解，而且只有部分解具備物理學意義。
其中包括史瓦西解、雷斯勒-諾斯特朗姆解、克爾解、託布-NUT解，每一個解都對應著特定類型的黑洞模型；此外還有弗裡德曼-勒梅特-羅伯遜-沃爾克解、哥德爾宇宙、德西特宇宙、反德西特空間等，每一個解都對應著一個膨脹的宇宙模型。
如果龐學林真的能求出愛因斯坦引力場方程的解析解，那麼豈不是意味著該方程的大部分精確解都可以通過解析解求出來？
雖然愛因斯坦引力場方程並非每一個精確解都具有實際物理意義，但毫無疑問，龐學林一旦成功求出引力場方程的解析解，對整個物理學界而言，都有著不小的意義。
一時間，整個禮堂大廳喧鬧了起來，所有人均議論紛紛。
“龐教授選什麼不好，幹嘛要選愛因斯坦引力場方程，這個方程的求解難度可非同一般，更不用說求它的解析解了。”
“是啊，這麼做風險太大了，一旦推導過程卡住了，到時候可就麻煩了！”
“我只能說，龐教授太有魄力了，不過如果真讓他求出愛因斯坦場方程的解析解，整個物理學界估計都會沸騰起來。”
……
龐學林對這一切並不在意，他乾咳一聲，繼續(xù)道：“衆(zhòng)所周知，廣義相對論的基本觀點是時空結(jié)構(gòu)取決於物質(zhì)的運動及分佈。愛因斯坦提出的引力場方程，提現(xiàn)了運動的物質(zhì)及其分佈決定周圍的時空性質(zhì)，對於任意座標變換，場方程的形式不變。而在弱場情況下與牛頓引力的泊松方程對應。因此，愛因斯坦引力場方程實際上包含了廣義相對論的全部內(nèi)容，下面，我們開始正式對該方程進行解析……”
龐學林拿著記號筆，一邊說，一邊在白板上對愛因斯坦引力場方程進行解析求解。
……
【假設(shè)引力場在時空尺度上均勻，Guv是隻依賴於度規(guī)及一階、二階導數(shù)的張量，具有對稱守恆，在弱場，能量—動量張量Tuv正比於Guv表達式。Guv=-8πGTuv
可得：①Guv=Ruv-1/2guvR
②Ruv-1/2guvR+λguv=-8πGTuv
常數(shù)λ爲零，這樣可以得出愛因斯坦引力場方程的形式，由從根本上反應物理規(guī)律本質(zhì)的最小作用量原理可以嚴格導出愛因斯坦作用量方程】
……
【設(shè)引力場和物質(zhì)的作用量分別是Sg和Sm，Sg=∫R√-gdΩ，須滿足δSg=0，Ω爲整個四維時空區(qū)域。則有?∫R√-gdΩ=δ∫Ruvguv√-gdΩ……】
……
龐學林的筆尖在白板上刷刷刷地寫著，禮堂內(nèi)，喧鬧聲漸漸平靜下來。
所有人都將注意力聚焦到白板上。
時間一分一秒過去，白板上漸漸被各種公式填滿。
龐氏幾何開始展現(xiàn)其強大的解析能力。
【我們可以發(fā)現(xiàn)，該方程中，所有量對時間導數(shù)都有Rik=0，由（X^0，X^1，X^2，X^3）=（ct，R，θ，Φ），α，β，γ是關(guān)於r的函數(shù)，e^γ=1，e^α=1，e^β=r^2，則有……】
……
“我明白了！”
臺下，望月新一一拍大腿，眼中流露出欣喜之色。
這幾天他一直在研究龐氏幾何求解非線性偏微分方程組的論文，但那篇論文實在是過於理論化和概念化，看的時候，望月新一總有點雲(yún)裡霧裡的感覺。
直到今天龐學林結(jié)合實際案例進行講解，他才真正理解了龐氏幾何求解非線性偏微分方程組的核心思想。
與之相比，在N-S方程問題上浸淫了十幾年的佩雷爾曼顯然早就理解了龐學林的思路，他淡淡笑道：“龐氏幾何的包容性實在是太強了，它通過解構(gòu)代數(shù)簇的方法，重新架構(gòu)非線性偏微分方程組，忽略其在不同階段的非線性因素，只尋求其線性條件下的解法。這趟江城之行沒有白來。龐教授確實沒有讓我感到失望。”
另一邊，舒爾茨拿起桌上的水杯，輕輕抿了口道：
“這傢伙，我真不知道他的腦子是怎麼長的？前兩天看他那論文的時候，我還感覺有些雲(yún)裡霧裡，沒想到結(jié)合實際案例一分析，我才發(fā)現(xiàn)，竟然還可以這樣去解析非線性偏微分方程！”
斯蒂克斯點了點頭，有些感慨道：“確實如此，也不知道和這樣的天才生活在同一年代，是我們的不幸，還是我們的幸運！不過我覺得以後我們的學生可能慘了，龐氏幾何很可能成爲絕大部分理工科學生研究生階段的必修課……”
舒爾茨一愣，差點沒把嘴裡的水給噴出來。
……
除了望月新一、佩雷爾曼、舒爾茨、斯蒂克斯等人外，發(fā)佈會現(xiàn)場，漸漸有越來越多的數(shù)學家理解了龐學林的求解思路。
“天哪，原來還可以這樣！”
“龐氏幾何，又是龐氏幾何！”
“我彷彿看到了當年代數(shù)幾何教皇格羅滕迪克的身影！”
“真沒想到，這傢伙真的解決了非線性偏微分方程組的求解問題。”
“以現(xiàn)在的情況來看，大部分非線性偏微分方程問題應該都可以通過龐氏幾何得到解決了……目前學術(shù)界經(jīng)典的非線性偏微分方程可不少……”
最後一句話，讓周圍一圈人爲之一靜。
不少數(shù)學家的眼睛頓時亮了起來。
龐學林這是爲大家開啓了一個大寶藏啊。
只要儘快理解龐氏幾何的核心思想，那豈不是隨便一個非線性偏微分方程組的問題，都可以拿來水論文？
而且這種水論文的姿勢可一點都不low。
因爲每求出一個經(jīng)典非線性偏微分方程組的解析解，都有可能對科學界、工程界產(chǎn)生重大影響！