第137章 三次丟番圖方程的一種特殊解法

剛開始看到這個(gè)題目，教室裡所有人都有點(diǎn)沒繃住，他們已經(jīng)不止一次的在朋友圈或者什麼地方看到這種圖，它們往往都帶著個(gè)十分驚悚的標(biāo)題，比如什麼“95%麻省理工畢業(yè)生無(wú)法解決的問(wèn)題”。

實(shí)際上這些問(wèn)題要麼很空洞，要麼偷換概念，要麼就是無(wú)關(guān)緊要的腦筋急轉(zhuǎn)彎。

但這道題顯然不是！

對(duì)於在這個(gè)教室裡接受集訓(xùn)的同學(xué)們來(lái)說(shuō)，香蕉蘋果菠蘿什麼的自然不會(huì)是阻礙，他們?cè)缇蛯?wèn)題轉(zhuǎn)化成了數(shù)學(xué)符號(hào)。

實(shí)際上這道題是讓他們求解a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)=4這個(gè)方程的整數(shù)解。

這顯然是一類丟番圖方程問(wèn)題。

任何一個(gè)對(duì)丟番圖方程有所瞭解的數(shù)學(xué)研究者都知道，一次的丟番圖方程很簡(jiǎn)單，二次的也已經(jīng)被理解的十分透徹，一般都能用相對(duì)初等的方法解決，三次的就要涉及汪洋一般的深?yuàn)W理論和數(shù)不勝數(shù)的開放問(wèn)題，至於四次，簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)就是難得沒邊。

題目給出的就是一個(gè)三次丟番圖方程。

或許題目給的不太明顯，但只要簡(jiǎn)單做一個(gè)變換，去掉分母，我們就能得到a^3+b^3+c^3-3(a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2)-5abc=0.

鄧樂(lè)巖埋頭苦算，他之前接觸過(guò)丟番圖方程，知道解這類丟番圖方程需要用到橢圓曲線，但具體應(yīng)該如何求解，他還沒有什麼思路。

王瀟同樣是如此。

李澤翰則是在一旁抓耳撓腮，他之前一直專注學(xué)習(xí)初等數(shù)學(xué)，爲(wèi)CMO做準(zhǔn)備，不過(guò)纔剛接觸高等數(shù)學(xué)。

丟番圖方程他是知道的，可要怎麼求解，他卻有些束手無(wú)策。

至於其他人，更是如同無(wú)頭的蒼蠅一般在草稿紙上推演，卻根本沒什麼頭緒。

不過(guò)在他們看來(lái)，既然老師拿出這道題，自然應(yīng)該是有解的，他們不相信自己會(huì)解不出來(lái)，身爲(wèi)天才，他們有這樣的自信。

原本熱烈的搶答氛圍一變，整個(gè)教室竟無(wú)一人舉手，一片靜悄悄，同學(xué)們都瘋狂的在草稿紙上演算起來(lái)。

徐志遠(yuǎn)看向教室中陷入沉思的同學(xué)們，嘴角露出一絲壞壞的笑意。

是時(shí)候給這些小傢伙們一點(diǎn)數(shù)學(xué)震撼了！

可惜此時(shí)所有人都沉浸在計(jì)算之中，沒有人注意到他的這一絲壞笑。

【你的數(shù)學(xué)等級(jí)由2級(jí)99%提升到100%】

【你的數(shù)學(xué)等級(jí)提升到3級(jí)，自由屬性點(diǎn)+1】

沉浸在學(xué)習(xí)中的陳輝眼前忽然閃過(guò)一道彈幕，喜悅油然而生，數(shù)學(xué)熟練度總算是肝到3級(jí)了，也正如他所料，數(shù)學(xué)熟練度提升到3級(jí)後再次獲得了一個(gè)自由屬性點(diǎn)。

沒有猶豫，

“創(chuàng)造力，給我加點(diǎn)！”

從得到第一個(gè)自由屬性點(diǎn)以來(lái)，已經(jīng)過(guò)去半年多，陳輝終於決定將它投入到這個(gè)之前從沒關(guān)注過(guò)的屬性上。

之前他接觸到的數(shù)學(xué)，都是需要通過(guò)所學(xué)的知識(shí)去求解一些題目，解決一些常規(guī)的問(wèn)題。

但最近，他越來(lái)越體會(huì)到創(chuàng)造力的重要性。

如果沒有舒爾茨提出的凝聚態(tài)數(shù)學(xué)，他不可能解決老師在朗蘭茲綱領(lǐng)證明上遇到的困難，如果沒有朗蘭茲提出的一系列猜想，他也不可能解決分?jǐn)?shù)陳類的微分幾何實(shí)現(xiàn)。

不管是凝聚態(tài)數(shù)學(xué)還是朗蘭茲綱領(lǐng)，都是之前從來(lái)沒有出現(xiàn)過(guò)的數(shù)學(xué)工具。

到了如今的階段，做數(shù)學(xué)研究和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，再也不是對(duì)所學(xué)知識(shí)的運(yùn)用，在某些情況下，需要自己創(chuàng)造出新的工具，才能解決問(wèn)題！

【宿主：陳輝

洞察力4級(jí)：（4.1/5）

判斷力1級(jí)：（1.8/2）

創(chuàng)造力1級(jí)：（1.5/2）

記憶力3級(jí)：（3.6/4）】

創(chuàng)造力的提升並沒有帶來(lái)什麼獨(dú)特的變化，這也是陳輝對(duì)這個(gè)數(shù)據(jù)面板感到困惑的地方，似乎每一次升級(jí)加點(diǎn)都不會(huì)給他帶來(lái)翻天覆地的變化，他甚至都感受不到這種變化的發(fā)生。

但或許，這些變化早就在他學(xué)習(xí)的每一分每一秒，時(shí)刻發(fā)生著，所以才感受不到。

做完這些，陳輝才注意到投影儀上的那道題目，還有身旁正抓耳撓腮的李澤翰。

“有點(diǎn)意思！”

只一眼，還沒有遭受朋友圈和網(wǎng)絡(luò)污染的陳輝就看懂了這道題目的意思。

他雖然早就擁有手機(jī)了，但除了查資料上網(wǎng)，他平時(shí)很少關(guān)注其他的無(wú)關(guān)訊息，即便有，也都是主動(dòng)搜索，而非被動(dòng)接受。

“老大能解？”

李澤翰察覺到動(dòng)靜，擡起頭來(lái)，目光灼灼的看向陳輝。

“可以試試。”

原本陳輝以爲(wèi)這次集訓(xùn)不會(huì)有有價(jià)值的東西，所以根本沒聽，但這道題，顯然是很有難度的。

他喜歡有難度的題目！

聽到這句話，小組內(nèi)的其他幾人也都看了過(guò)來(lái)。

他們反正沒什麼頭緒，索性都停了筆，看向陳輝的草稿紙。

“同學(xué)們，有人算出答案了嗎？”

過(guò)了幾分鐘後，徐志遠(yuǎn)看了看時(shí)間，已經(jīng)九點(diǎn)五十四，快要下課了，他從來(lái)不是個(gè)拖堂的老師，當(dāng)然，他也從來(lái)不是個(gè)喜歡解謎的老師，他會(huì)給出答案，然後讓同學(xué)們自己回去思考解題方法，留下些懸念，欲知後事如何，明天再來(lái)講解。

這時(shí)，有人舉手，“老師，非正整數(shù)解可以嗎？比如a=-1，b=1，c=0這種？”

“當(dāng)然不行，必須要正整數(shù)解才行。”

徐志遠(yuǎn)搖頭，這道題的精髓就在於正整數(shù)解，難度也在正整數(shù)解。

如果是有理解，那這樣的特解隨時(shí)可以寫出一大堆來(lái)。

但找到這道題的有理解，是打開這道題大門的第一步，可惜，眼前這些小傢伙並不知道。

“好了，這道題的解爲(wèi)……”

徐志勝又等了兩分鐘，發(fā)現(xiàn)沒有其他人舉手後，走回到講臺(tái)，拿起粉筆，一邊說(shuō)一邊寫到。

“大家可以自己思考一下求解思路，明天我再來(lái)給大家講一講這一類丟番圖方程。” 因爲(wèi)解實(shí)在太長(zhǎng)，第一個(gè)解還沒寫完，他的話已經(jīng)說(shuō)完。

雖然這次集訓(xùn)是爲(wèi)IMO做準(zhǔn)備，但徐志遠(yuǎn)覺得，培養(yǎng)孩子們對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，遠(yuǎn)比拿什麼IMO金牌來(lái)得有用。

IMO金牌每年都有很多，但最後能成爲(wèi)優(yōu)秀數(shù)學(xué)家的，卻不多。

甚至，還有些IMO金牌選手因爲(wèi)形成了固定思維範(fàn)式，對(duì)初等數(shù)學(xué)很擅長(zhǎng)，可一旦接觸到高等數(shù)學(xué)，反而無(wú)法適應(yīng)。

比如他之前就知道有一個(gè)IMO金牌選手，保送到燕北大學(xué)，卻讀了六年本科，因爲(wèi)他很多科都掛科了。

他還跟那些IMO保送清北後就打遊戲，荒廢學(xué)業(yè)被退學(xué)的選手不一樣，他學(xué)習(xí)非常刻苦，不是在刷題就是在刷題的路上，但他不重視高等數(shù)學(xué)的定義定理，而是用初等數(shù)學(xué)的方法和技巧去解決高等數(shù)學(xué)的問(wèn)題。

這樣雖然也能解決一些問(wèn)題，但顯然，這是用小米加步槍去解決飛機(jī)和大炮應(yīng)該解決的問(wèn)題，事倍功半，最後還不一定能解決。

所以，他被困在了本科。

或者說(shuō)，他被自己的思維範(fàn)式困住了，如果走不出來(lái)，這個(gè)孩子的一生或許就廢了。

能夠拿到IMO金牌，這樣的人不可能沒有天賦，這樣的結(jié)局，讓徐志遠(yuǎn)感覺很是可惜。

所以，他決定在這些孩子們參加IMO之前，先給他們看看飛機(jī)大炮是什麼樣的，來(lái)一次軍火展示！

徐志遠(yuǎn)一邊對(duì)著手機(jī)寫答案，一邊在腦海中胡思亂想，忽然，他聽到背後有動(dòng)靜傳來(lái)。

只見一個(gè)學(xué)生站了起來(lái)，然後開口說(shuō)道，“”

“？”

教室裡所有人都停下了手上的動(dòng)作，擡頭看向陳輝。

即便他們已經(jīng)知道這個(gè)傢伙很強(qiáng)，但聽到這個(gè)答案，他們依舊覺得這傢伙像個(gè)傻子。

他們上一次聽到有人念出這麼多數(shù)字，還是一位記憶力超羣的傢伙在背π小數(shù)點(diǎn)後一千位……

他們的確做不出來(lái)這道題，但他們覺得，這個(gè)答案太離譜了些。

所以，所有人的目光又轉(zhuǎn)向了徐志遠(yuǎn)。

徐志遠(yuǎn)也有些茫然。

老實(shí)說(shuō)，這個(gè)答案他也記不住，三個(gè)八十多位的正整數(shù)，他也沒有去記住的必要。

但他很快反應(yīng)過(guò)來(lái)，這個(gè)傢伙既然能說(shuō)出這些數(shù)字，說(shuō)明，他真的算出來(lái)了？

這怎麼可能？

徐志遠(yuǎn)很懷疑，因爲(wèi)他也算不出來(lái)，這個(gè)答案，他是通過(guò)計(jì)算機(jī)算出來(lái)的，這個(gè)計(jì)算量已經(jīng)超出了人腦的極限。

但他認(rèn)識(shí)這個(gè)學(xué)生，陳輝！

他聽過(guò)一些這位CMO滿分選手的事蹟，包括燕北大學(xué)那場(chǎng)研討會(huì)。

或許，他真的能夠算出來(lái)？！

徐志遠(yuǎn)忽然有些期待。

如果他真能不利用計(jì)算機(jī)就算出來(lái)，那麼，這個(gè)方法是否能夠推廣到一般的情況，用來(lái)求解這一類丟番圖方程呢？

如果能的話，那這將是一個(gè)振奮人心的成果！

不過(guò)很快他就爲(wèi)自己這個(gè)想法感到可笑，他竟然試圖讓一個(gè)高中生去發(fā)明一種三次丟番圖方程的特殊解法。

“可以給大家講解一下你的求解方法嗎？”

雖然不抱希望，徐志遠(yuǎn)還是決定聽聽陳輝的思路。

“我也是受到剛纔那位同學(xué)的啓發(fā)。”

陳輝看向剛纔舉手的那位同學(xué)，他也有些興奮，不管任何時(shí)候，解出一道難題總是會(huì)讓人感到興奮，充滿成就感。

所以他不介意跟大家分享他的解題思路，“我們可以很輕易的找到一組有理數(shù)特解，a=-1，b=1，c=0，有了有理數(shù)特解，就說(shuō)明我們要求的這個(gè)方程實(shí)際上是一個(gè)橢圓曲線！”

“？”

那位被陳輝目光注視的同學(xué)滿臉茫然，眼神中透露出清澈的愚蠢，“我有這樣想過(guò)嗎？”

“哦，這裡的橢圓曲線是指域上虧格爲(wèi)1的光滑射影曲線。對(duì)於特徵不等於2的域，它的仿射方程可以寫成 y^2=x^3+ax^2+bx+c，複數(shù)域上的橢圓曲線爲(wèi)虧格爲(wèi)1的黎曼面，莫德爾證明了整體域上的橢圓曲線是有限生成交換羣，這是著名的BSD猜想的前提條件，阿貝爾簇是橢圓曲線的高維推廣……”

考慮到教室裡的都只是參加IMO的高中生，而不是當(dāng)時(shí)在燕北大學(xué)的教授們，陳輝特地解釋了一句。

但他不解釋還好，這一解釋，教室中茫然的小眼神就更多了。

“說(shuō)得就像你解釋了我們就能聽得懂一樣！”不少人暗暗腹誹。

陳輝卻沒有注意到同學(xué)們的反應(yīng)，眼中神采奕奕，彷彿有無(wú)數(shù)數(shù)字和符號(hào)在跳動(dòng)，“有了這個(gè)共識(shí)後，接下來(lái)我們可以將這個(gè)橢圓曲線轉(zhuǎn)化成威爾斯特拉斯形式，也就是y^2=x^3+109x^2+224x。”

“對(duì)了，這裡一定有同學(xué)會(huì)疑惑，原方程不是有三個(gè)未知數(shù)嗎？怎麼到這裡就只有兩個(gè)未知數(shù)了？”

“因爲(wèi)這個(gè)方程是齊次的，這意味著如果（a，b，c）是方程的一個(gè)特解的話，那（7a，7b，7c）也是它的解，這意味著這個(gè)方程看上去像是三維的，但它實(shí)際上只有兩維。

在幾何中，它對(duì)應(yīng)著一個(gè)面，一個(gè)三元方程一般定義一個(gè)兩維的面，一般來(lái)說(shuō)，k個(gè)n元方程定義一個(gè)d維的流形，d=n-k，這個(gè)面是由一條過(guò)原點(diǎn)的線旋轉(zhuǎn)形成的，可以通過(guò)截取的單平面來(lái)理解，所以由此也可以得知，這是一條射影曲線。”

陳輝似乎真的很想讓同學(xué)們能夠聽懂，能夠?qū)W到知識(shí)，儘量讓自己講得通俗易懂，甚至爲(wèi)了讓自己的過(guò)程更加清晰明瞭，他還走出座位，來(lái)到講臺(tái)，拿起粉筆在黑板上劃出了這條橢圓曲線的示意圖。

“如圖，右邊的‘魚尾’連續(xù)延伸至正負(fù)無(wú)窮，左邊的封閉橢圓曲線就是我們解決問(wèn)題的契機(jī)，給定這個(gè)方程的任意解（x，y），我們都可以通過(guò)變換，還原出所求的a，b，c，這樣我們就構(gòu)造出了一個(gè)雙有理數(shù)等價(jià)。”

講到這裡，教室裡已經(jīng)99%的同學(xué)都開始犯暈，只有鄧樂(lè)巖、王瀟等寥寥幾個(gè)人還能勉強(qiáng)跟上。

但他們此時(shí)也已經(jīng)皺起了眉頭。

因爲(wèi)橢圓曲線問(wèn)題本身就是個(gè)龐然大物，看似已經(jīng)做了很多事情，但問(wèn)題似乎並沒有得到解決。

徐志遠(yuǎn)則是饒有興致的看向陳輝，如果說(shuō)之前他還認(rèn)爲(wèi)陳輝不可能解決這個(gè)問(wèn)題，但現(xiàn)在，他覺得，這小子或許還真的找到了些訣竅。

“再回到構(gòu)造出來(lái)的橢圓曲線，我們可以容易再上面找到一個(gè)很好的有理數(shù)點(diǎn)，x=100，y=260，這並不是正整數(shù)解，但不要著急，接下來(lái)我們利用弦切技巧進(jìn)行加法，生成其它的有理數(shù)點(diǎn)。”

“通過(guò)作P點(diǎn)的切線，找到它和曲線再次相交的點(diǎn)，以此增加P點(diǎn)的值，得到2P=（8836/25，-950716/125），這樣我們可以得到a，b，c的一組新解，但顯然，他們依舊不是正整數(shù)解。

但沒關(guān)係，我們繼續(xù)迭代，計(jì)算3P、4P，一直計(jì)算到9P，最後我們就能得到a，b，c的正整數(shù)解了！”

說(shuō)完，陳輝扔下粉筆，笑著說(shuō)道，“計(jì)算稍微複雜了點(diǎn)，但整體思路還是很簡(jiǎn)單的！”

(本章完)