第1151章 更強(qiáng)悍的徐教授！

“設(shè) X是域 k上光滑投影代數(shù)簇， e是與 k的特徵互素的素?cái)?shù)， Hi(X， Qe )是 X的 i階e-adic上同調(diào)羣， X與投影空間的超平面的交集是 X的子代數(shù)簇。”

“與這個(gè)子代數(shù)簇的上同調(diào)類作 cup乘積定義出線性映射L：Hi(X， Qe)→ H^i+2(X， Qe )”

“對(duì)於定義在Q上的光滑代數(shù)簇X，考慮其模p約化，而對(duì)幾乎所有p，約化都是好。給出定義在F_p上的光滑代數(shù)簇X_p，此時(shí)ζXp（s）=Z·Xp（P^-s）:=Eep（∑n≥1·Nn/n·pns）.”

黑板前，徐川臉上帶著淡淡的笑容，一邊將腦海中的思路整理出來(lái)書寫到黑板上，一邊解釋著自己的想法。

站在徐川的身後，法爾廷斯饒有興趣的看著黑板上的算式。

如果說(shuō)數(shù)學(xué)界還有什麼公認(rèn)的難題比七大千禧年難題要更難以解決，那麼由教皇亞歷山大·格羅滕迪克提出來(lái)的(Grothendieck)標(biāo)準(zhǔn)猜想無(wú)疑便是其中的一個(gè)。

格羅滕迪克老先生在研究 Weil猜想時(shí)提出了標(biāo)準(zhǔn)猜想，並在該猜想基礎(chǔ)上，建立了 motive理論。

而如今， motive理論一直指引著算術(shù)代數(shù)幾何的發(fā)展。

除此之外，標(biāo)準(zhǔn)猜想有很多深刻的推論.它可以推出 Weil猜想，而且可以推出弗羅貝尼烏斯在光滑投影代數(shù)簇的上同調(diào)羣上的作用是半單的。

與此同時(shí)，它還能推出代數(shù)簇中代數(shù)閉鏈的數(shù)值等價(jià)和同調(diào)等價(jià)是是同一個(gè)等價(jià)關(guān)係。

可以說(shuō)，格羅滕迪克提出的標(biāo)準(zhǔn)猜想是一座真正的數(shù)學(xué)寶藏，數(shù)學(xué)界可以從裡面挖掘出來(lái)的有價(jià)值的東西實(shí)在是太多太多了。

目光落在面前的黑板上，法爾廷斯眼眸中帶著一絲好奇的神色。

從徐川剛開(kāi)始寫的這些數(shù)學(xué)公式來(lái)看，他應(yīng)該是想要通過(guò)已經(jīng)證明了的韋爾猜將光滑代數(shù)簇X解析延拓到全平面，進(jìn)而滿足黎曼猜想。

這條思路藉助了懷爾斯和泰勒等人的模定理，也就是谷山-志村證明的谷山-志村猜想，後者作爲(wèi)朗蘭茲綱領(lǐng)的特例，是證明費(fèi)馬大定理的關(guān)鍵。

但關(guān)鍵問(wèn)題是，在L_E(s)在s=1處的展開(kāi)性狀包含了E的結(jié)構(gòu)信息k這是千禧七大難題之一的Birch和Swinnerton-Dyer猜想（BDS猜想），迄今尚未得到證明。

“有意思，他準(zhǔn)備怎麼做？”

目光落在面前的背影上，法爾廷斯眼眸中閃爍著思索的神色，他將自己代入進(jìn)了徐川的角度，沿著黑板上的算式繼續(xù)嘗試性的往下推衍著。

腦海中的思緒如閃電，一項(xiàng)又一項(xiàng)看似可行的方案最終都被他推翻了。

Hasse-Weilζ/ L函數(shù)包含了大量數(shù)論信息，而在對(duì)它的推衍過(guò)程中僅僅是對(duì)橢圓曲線定義的L_E(s)就涉及好幾個(gè)艱深的數(shù)學(xué)定理與猜想。

現(xiàn)階段的數(shù)學(xué)界對(duì)一般的高維代數(shù)簇X都無(wú)能爲(wèi)力，所有成果幾乎都源於在志村簇上建立朗蘭茲綱領(lǐng)對(duì)應(yīng)的嘗試上。

“他該怎麼找到高維代數(shù)簇X的精確陳述，然後提出可能的證明路徑，並最終成功證明？”

站在法爾廷斯的身旁，彼得·舒爾茨和陶哲軒等人眼眸中也帶上了一抹狐疑和驚訝。

在場(chǎng)的所有人都是數(shù)學(xué)界真正的‘神仙’，每一個(gè)都是手握一枚菲爾茲獎(jiǎng)的頂尖大牛，徐川的研究思路對(duì)於他們來(lái)說(shuō)自然很容易理解。

但越是能夠理解這條研究思路，對(duì)於走通這條道路就越是感覺(jué)到困難，甚至是不可能。

如果是一個(gè)人有這種想法，或許是他可能並不擅長(zhǎng)這一領(lǐng)域的研究。

但在場(chǎng)的所有人幾乎的都萌生了這條路難以走通或者說(shuō)走不通的想法，那麼或許這條路，可能真的難以走通。

除非徐川能直接今天在現(xiàn)場(chǎng)解決掉BDS猜想。

否則這條研究思路怎麼看都是死路。

而在今天解決掉BDS猜想這有可能嗎？

辦公室中，一羣數(shù)學(xué)界的頂尖大牛看著依舊還在繼續(xù)闡述自己的研究思路與方向的那個(gè)人，眼神中滿是複雜的情緒。

黑板前，徐川倒是不太清楚這羣人複雜的心理變化，在寫下了一行數(shù)學(xué)公式後，他轉(zhuǎn)過(guò)身，笑著開(kāi)口道。

“Weil猜想的第三部分可以視作關(guān)於有限域的代數(shù)簇的黎曼猜想，而有關(guān)於橢圓曲線上的有理點(diǎn)的問(wèn)題主要涉及代數(shù)數(shù)論。”

“相信在場(chǎng)的各位都很清楚這些，也很容易看出我的研究思路是基於韋爾猜想與光滑代數(shù)簇X解析延拓的。”

“而在這方面有一個(gè)巨大的難題，那就是如何對(duì)橢圓曲線定義的L_E(s)進(jìn)行處理，這方面的問(wèn)題涉及到了BDS猜想等好些個(gè)數(shù)學(xué)難題。”

“那麼，接下來(lái)我將展示自己研究思路中最爲(wèi)核心的關(guān)鍵！”

“看好了！”

說(shuō)著，他黑板調(diào)轉(zhuǎn)了過(guò)來(lái)，擦掉了法爾廷斯之前對(duì)局部朗蘭茲對(duì)應(yīng)猜想的研究思路，繼續(xù)寫道。

“給出了ζK(s)在整個(gè)複平面上的解析延拓，延拓後的亞純函數(shù)ζK(s)僅在s=1處有單極點(diǎn)。類似的，此時(shí)我們也有函數(shù)方程和黎曼猜想。”

“而針對(duì)通常亞純函數(shù)ζK(s)僅在s=1處有單極點(diǎn)我們通常將其稱爲(wèi)擴(kuò)展黎曼猜想。”

“給定Q上的橢圓曲線E，以r記其秩，將Q上所有橢圓曲線的同構(gòu)類以高(height)排序，其平均秩有上界7/6，那麼滿足r=0的E在Q上所有橢圓曲線中佔(zhàn)有一個(gè)正的比例。”

“更進(jìn)一步，將Weil-Hasse函數(shù)L(s，E)在s=1處的零點(diǎn)階數(shù)r_a爲(wèi)E的解析秩，既可滿足BSD猜想的E在Q上所有橢圓曲線中佔(zhàn)有一個(gè)正的比例，再考慮了函數(shù)域的有限擴(kuò)張，特別是二次擴(kuò)張.”

黑板前，徐川一點(diǎn)一點(diǎn)的將腦海中的思路譜寫在黑板上。

很快，一面黑板便已經(jīng)佔(zhàn)滿了全部的空白空間。不過(guò)這裡是研究數(shù)學(xué)大統(tǒng)一的地方，缺少了任何其他的東西都不可能缺少黑板。

從角落中拖出另一面黑板，他繼續(xù)完善著自己腦海中的想法。

手中捏著記號(hào)筆的徐川，已經(jīng)全然忘卻了外界，也忘卻了自己所處的立場(chǎng)，只是一心一意地將自己腦海中的那座拼圖，一筆一劃地描摹在了這個(gè)世界上。

與此同時(shí)，辦公室中的所有人都跟隨著他手中那一支記號(hào)筆而挪動(dòng)著自己的視線。

“原來(lái)如此.我明白了。”

伴隨著最爲(wèi)核心的那一行關(guān)鍵公式展開(kāi)，法爾廷斯的眼眸中露出了一抹恍然，盯著黑板前的那道背影在他的眼中產(chǎn)生了一絲錯(cuò)覺(jué)。

似乎此刻站在黑板前的那道身影，就像是他記憶中幾十年前他還處?kù)肚酀瓡r(shí)代在課堂上曾偶然遇到過(guò)的那個(gè)偉岸的背影一樣。

那時(shí)候的他才初入數(shù)學(xué)界，而遇到的那個(gè)人，卻是當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)界最偉大的學(xué)者。

然而此刻兩者的身影，彷彿在記憶中重迭了。 “將數(shù)論與算數(shù)幾何的核心研究到了這種地步，難怪他能幹掉黎曼猜想這個(gè)宏偉的命題。”

辦公室中，曾解決了費(fèi)馬猜想的懷爾斯教授眼眸中閃過(guò)一絲釋然，呼出了一口長(zhǎng)長(zhǎng)的濁氣。

一直以來(lái)，他都不太明白麪前的這個(gè)人到底是怎麼做到的。

但現(xiàn)在看來(lái)，所有的答案都已經(jīng)在黑板上了，讓人不得不服。

站在黑板的一側(cè)，一直都沒(méi)怎麼說(shuō)話的陶哲軒深吸了口氣，感慨著輕聲說(shuō)道。

“引導(dǎo)數(shù)論/算術(shù)幾何發(fā)展的一條核心線索是數(shù)域和函數(shù)域的類比，更沒(méi)想到調(diào)羣一個(gè)分類拓?fù)淇臻g的工具居然能跟有限域上的代數(shù)簇解個(gè)數(shù)扯上關(guān)係……代數(shù)幾何還真是令人不可思議。”

略微停頓了一下，他臉上露出了一抹苦澀的笑容，像是在感慨，也像是在自嘲。

“都說(shuō)我是二十一世紀(jì)新生代的‘全能數(shù)學(xué)家’，但我也僅僅是擅長(zhǎng)解析數(shù)論、調(diào)和分析、偏微分方程、算子代數(shù)這些東西而已。”

“而這傢伙，真的還有他不懂的數(shù)學(xué)領(lǐng)域嗎？”

“他在數(shù)學(xué)條路上到底走了多遠(yuǎn)了？”

站在他的身旁，詹姆斯·梅納德一臉無(wú)奈的開(kāi)口道：“我可以認(rèn)爲(wèi)你這是在羣嘲嗎？”

麻蛋！

在這兩個(gè)全能的傢伙面前，僅僅擅長(zhǎng)數(shù)論的他是不是應(yīng)該挖個(gè)地洞鑽進(jìn)去？

說(shuō)是如此，但事實(shí)上在數(shù)學(xué)界，能夠在數(shù)論這個(gè)龐大的分支領(lǐng)域站到金字塔頂尖，他已經(jīng)超過(guò)了絕大部分的學(xué)者了。

但偏偏，今天這會(huì)站在這個(gè)房間中的，全都是數(shù)學(xué)界的頂尖大牛。

像老一輩的法爾廷斯、德利涅、懷爾斯這些傢伙就不多說(shuō)了，幾乎每一個(gè)都是神仙般的存在。

而相對(duì)年輕一輩的，這會(huì)正站在那裡板書的那傢伙就不必多說(shuō)了。

剩下的，無(wú)論是舒爾茨還是陶哲軒，乃至吳寶珠和佩雷爾曼好像都比他強(qiáng)。

在這羣人中，他好像是最弱的那一個(gè)。

想到這，梅納德忍不住嘆了口氣，菲獎(jiǎng)得主，亦有差距啊。

不過(guò)好在他還年輕，未來(lái)還有機(jī)會(huì)研究其他的數(shù)學(xué)領(lǐng)域。

黑板前，徐川依舊在全神貫注地不斷的板書著自己的研究思路，甚至不知道什麼時(shí)候開(kāi)始，他已經(jīng)連那講述的聲音都停下來(lái)了。

辦公室中，其他人的細(xì)微的討論聲也停了下來(lái)，所有人都目不轉(zhuǎn)睛地看著臺(tái)上的那人，看著他繼續(xù)寫著。

此時(shí)此刻的徐川已經(jīng)完全沉浸在了數(shù)字與算符的世界中，全然忘卻了外物與自我。

那一行行數(shù)學(xué)算式從那鋒利如刀的記號(hào)筆下流淌而出，如同一個(gè)個(gè)美妙的音符，共同協(xié)奏著一曲無(wú)聲卻撼動(dòng)人心絃的交響樂(lè)，涌入每一位聽(tīng)衆(zhòng)的耳海中。

也不知道過(guò)去了多久的時(shí)間，那一支已經(jīng)寫滿了好幾面黑板，甚至塗改擦拭並重新抒寫的記號(hào)筆終於停了下來(lái)。

“定義ζc（s）=x∈c∏（1-N（x）s）1”

“x取遍C上的閉點(diǎn)，將其搬到射影曲線上”

寫到這，徐川輕輕的擡起了右手，在黑板上劃開(kāi)了一道行雲(yún)流水的軌跡，演變成最後一行算式。

“.ζ_C可以寫成Z_C(q^-s)的形式，Z_C(T)=P(T)/Q(T)，P，Q∈Z[T]。”

如同敲下了休止符的琴鍵，當(dāng)最後一字符寫下的時(shí)候，徐川終於停下來(lái)自己的手。

轉(zhuǎn)身，他看向身後的一羣人，透過(guò)他們的臉龐和視線看到了那一抹抹驚訝、詫異、瞭然等各種情緒。

辦公室中，鴉雀無(wú)聲。

雖然說(shuō)少了一些掌聲讓徐川總覺(jué)得有些不適，但他還是輕咳了一聲，他笑著開(kāi)口道：

“如果我的思路沒(méi)有問(wèn)題的話，我們只需要解決P(T)的所有零點(diǎn)都分佈在函數(shù)方程的對(duì)稱圓|T|=q^{-1/2}上，就足夠繞開(kāi)BDS猜想，將將光滑代數(shù)簇X解析延拓到全平面，進(jìn)而滿足黎曼猜想了。”

“這也意味著，對(duì)於萊夫謝茨標(biāo)準(zhǔn)猜想的研究，我們將會(huì)擁有一個(gè)全新的數(shù)學(xué)工具！”

“相信我說(shuō)的這麼直白了，以諸位的水平，應(yīng)該不難理解我的研究思路。”

站在黑板前，舒爾茨的眼眸中寫滿了凝重。

Lesfschetz標(biāo)準(zhǔn)化猜想有許多不同的敘述形式，但主要關(guān)係的是一類對(duì)應(yīng)的代數(shù)性。

比如他之前解決過(guò)的著名的霍奇猜想也是如此，而這兩個(gè)難題的核心問(wèn)題便是算子。

尤其是萊夫謝茨標(biāo)準(zhǔn)猜想涉及到的Lesfschetz L算子，它的定義是依賴超平面截面W選取的。

那麼通過(guò)對(duì)於相當(dāng)有限的幾類簇，既可以曲線情形就是平凡的，也可以直接可以直接驗(yàn)證代數(shù)性。

儘管想要解決它並不是一件容易的事情，甚至可以說(shuō)就連他自己都沒(méi)有辦法能夠在短時(shí)間內(nèi)解決這個(gè)問(wèn)題。

但針對(duì)某一個(gè)難題，突破性的找到一條可行的研究思路，這正是徐川所擅長(zhǎng)的領(lǐng)域之一。

而且，有這個(gè)傢伙在，在找到了一條可行的研究思路後，要解決他或許也要不了多少的時(shí)間。

畢竟此前他解決霍奇猜想、NS方程這些千禧年難題用時(shí)平均都沒(méi)超過(guò)一年。

原本舒爾茨以爲(wèi)法爾廷斯就足夠強(qiáng)悍了，然而徐川卻比他還要變態(tài)！

看樣子在兩條不同分工的研究路線上，他們已經(jīng)落後了一大截了。