科探柯菲一、數(shù)學(xué),科探柯菲1 歷史軍事 U 網(wǎng)
1《幾何原本》——理性的典範(fàn)
歐幾里得（euclid，古希臘，－300前後）的《幾何原本》不僅在數(shù)學(xué)領(lǐng)域是神聖的，在科學(xué)界也是理性的典範(fàn)，因爲(wèi)它不僅提供了一套理論，還提供了一套思想體系——公理化，而且其中運(yùn)用的方法，基本上涵蓋了數(shù)學(xué)思考的藝術(shù)和方法。
1.1先天理性——公理
“從小亞細(xì)亞到西西里島、南意大利及整個(gè)地中海地區(qū)的許多學(xué)派和個(gè)人的工作，都被歐幾里得總結(jié)在一本名爲(wèi)《幾何原本》的傑作中。[1]”據(jù)史料記載，《幾何原本》的內(nèi)容可能吸取了前人的成果。原著共十三卷，第1—4卷和第7、9卷，可能來自畢達(dá)哥拉斯（pythagoras）學(xué)派的著作；第8卷可能來自阿爾希塔斯（archytas）的著作；第5、6和7卷的部分內(nèi)容可能來自歐多克索斯（eudoxus）的著作；第10和Ⅻ卷可能來自泰特託斯（thcaetetus）的著作，但是，也有人認(rèn)爲(wèi)最難讀的第10卷（十三種無理線段）是歐幾里得本人的研究成果[2]。可見，《幾何原本》是一本凝聚前人智慧的作品，歐幾里得是一位數(shù)學(xué)的集大成者。
前人的智慧在歐幾里得那裡成爲(wèi)了一套體系。這套體系中關(guān)鍵是“公理”的思想。對(duì)於公理，亞里士多德這樣說明：“並不是所有的東西都能被證明，否則證明的過程將會(huì)永無止境。證明必須從某個(gè)地方起步，用以起步的這些東西是能得到認(rèn)可的，但卻不是不可證明的。這些就是所有科學(xué)的第一普遍的原理，被人們稱之爲(wèi)公理，或常識(shí)。[3]”
與這一思想，最契合的是老子《道德經(jīng)》中的一句話，“有物混成，先天地生，寂兮寥兮，獨(dú)立而不改，周行而不殆，可以爲(wèi)天下母。”爲(wèi)什麼這樣說，比如要爲(wèi)世界找一個(gè)開端，找到了上帝，那麼上帝又是從何而來？這樣追溯上去，就會(huì)有問題。要解決的話：要麼就是“人類造出上帝，上帝又造出人類”這樣的循環(huán)論證；要麼就是“上帝是最初的”。所以西方世界不論到了什麼時(shí)候，有何等的智慧，好像仍然信奉上帝；與其說他們信奉宗教，倒不如說他們信奉“真理有個(gè)最初”。而老子與亞里士多德的理解，一開始就是個(gè)抽象而永恆的根本——道（公理）。
《幾何原本》[4]中只用了五個(gè)公理和五個(gè)公設(shè)：
五大公理：1.等於同量的量彼此相等。（即a=c，b=c，那麼a=b）2.等量加等量，其和仍相等。（即a=b，c=d，那麼a+c=b+d）3.等量減等量，其差仍相等。（即a=b，c=d，那麼a-c=b-d）4.彼此能夠重合的物體是全等的。（對(duì)於幾何而言，相等就是重合。a與b重合，即a=b）5.整體大於部分。（即a=a+b，那麼a＞a，這一點(diǎn)後來被證明在無限的概念中無效）
五大公設(shè)：1.由任意一點(diǎn)到另外任意一點(diǎn)可以畫直線。2.一條有限直線可以繼續(xù)延長。3.以任意的點(diǎn)爲(wèi)心及任意的距離可以畫圓。4.凡直角都彼此相等。5.同平面內(nèi)一條直線和另外兩條直線相交，若在某一側(cè)的兩個(gè)內(nèi)角的和小於二直角的和，則這兩條直線經(jīng)無限延長後在這一側(cè)相交（因爲(wèi)其表述麻煩，所以後人把它改成一種等價(jià)形式：過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行。所以也稱之爲(wèi)“平行公設(shè)”）。
在希臘時(shí)期，公理和公設(shè)是有區(qū)別的。公理是數(shù)學(xué)各個(gè)分支都承認(rèn)的基本道理，公設(shè)只是幾何學(xué)中所需要的基本道理。現(xiàn)代學(xué)者已不再將它們區(qū)分，而統(tǒng)稱爲(wèi)公理。其實(shí)我們現(xiàn)在來看公理跟公設(shè)，還是有區(qū)別的，這五大公理都非常簡單，甚至看起來好像是多餘的，和我們說“太陽每天早上會(huì)從東方升起”一樣。可這正是公理的基本要點(diǎn)，簡單而且大家都知道都接受。建立在這樣的基礎(chǔ)上的科學(xué)纔是有效的真理。（當(dāng)然要注意一點(diǎn)的就是隨著科學(xué)的發(fā)展，我們不斷地提高對(duì)我們?nèi)祟愖陨砀兄芰Φ摹罢J(rèn)識(shí)”，我們不斷地在建立一些新的“公理”，而這些公理已經(jīng)超乎常人的見識(shí)。）可神奇正在於，一直到現(xiàn)在，這五大公理依然是不可推翻，而且是數(shù)學(xué)一切計(jì)算的基本法則；這是因爲(wèi)一開始這五大法則就已經(jīng)打破了人類的“感知”，它已經(jīng)是抽象於現(xiàn)實(shí)世界的絕對(duì)理性。正如我們知道“世界上沒有兩片完全相同的葉子”，可是我們需要“相等”這個(gè)關(guān)係。
五大公設(shè)的前四個(gè)和五大公理相同，它們都是簡單而且能被大家接受。唯獨(dú)“平行公設(shè)”，引起了很多的爭論，後世數(shù)學(xué)家雖然承認(rèn)第5公設(shè)是正確的，但大家都覺得它不像是“公設(shè)”，更像是一條可以被證明的“命題”。因爲(wèi)我們一看就知道它並不簡潔，而又好像能夠憑藉畫個(gè)圖（如圖1.1）就可以清楚看出來，知道三角形內(nèi)角和爲(wèi)180。的人，乍一看就會(huì)覺得這是可以證明的。但奇怪的是，經(jīng)過了二千年的時(shí)間，耗盡了無數(shù)數(shù)學(xué)家的熱情與心血都未能找到對(duì)第5公設(shè)的一個(gè)合理證明！當(dāng)然這也又一次印證了哲學(xué)的巧妙：越簡單的越困難。所以，到了現(xiàn)在我們也覺得歐幾里得相當(dāng)了不起，這的確必須是個(gè)公設(shè)。
奧妙之處，在於這裡涉及的是直線，可以無限延長，而誰都無法到達(dá)無限去，比如兩個(gè)內(nèi)角的和無限接近180。的話，那麼即使是在一平面上也是無限接近，卻最終無法相交，可這樣就不是相交於一點(diǎn)了。甚至，其中的一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，三角形的內(nèi)角和究竟是不是180。，還是一個(gè)大問題。180。是測(cè)量出來的，可不是證明出來的。高斯曾經(jīng)找了三個(gè)山頭，他認(rèn)爲(wèi)很遠(yuǎn)了，然而測(cè)量的結(jié)果當(dāng)然不是180。，因爲(wèi)測(cè)量是存在誤差的，即使非常小。但是隻要是非常小的差別，就不能明確是180。。這一點(diǎn)也看出了數(shù)學(xué)的抽象與嚴(yán)謹(jǐn)。
當(dāng)然，無聊的事情不是沒有好處，一些數(shù)學(xué)家，俄國的羅巴切夫斯基（1829年《論幾何基礎(chǔ)》）和匈牙利的波爾約（1832年《絕對(duì)幾何學(xué)》），還包括高斯（去世後留下的手稿）就藉助對(duì)第5公設(shè)的思考而找到了“非歐幾何”。他們發(fā)現(xiàn)即使否定了第5公設(shè)，我們?nèi)匀豢梢缘玫揭粋€(gè)沒有矛盾的幾何體系，而這個(gè)體系就是非歐幾何。他們都是假定過線外一點(diǎn)有兩條直線與所給的直線平行，得到了兩種全新的幾何：雙曲幾何（內(nèi)角和小於180。）、橢圓幾何（內(nèi)角和大於180。）。而且它們和歐氏幾何在我們通常的尺度下都無法辨別，現(xiàn)在還沒有測(cè)量儀器可以辨別，在正常尺度下，三種幾何的三角形內(nèi)角和都接近於180。。
非歐幾何的出現(xiàn)，給了我們很多的啓發(fā)。張順燕指出：“歐氏幾何的誕生動(dòng)搖了人們的真理觀，使人們認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)只是一種思維的產(chǎn)物，不是客觀世界的產(chǎn)物，同時(shí)又讓人們看到三種幾何，也就是說數(shù)學(xué)是邏輯的產(chǎn)物……從這三種幾何可以看出，數(shù)學(xué)的的確確是同根異幹，同幹異枝，同枝異葉，每兩個(gè)東西都是完全不一樣的。[5]”而其實(shí)更關(guān)鍵的是，對(duì)根源的反思，正是創(chuàng)新的源泉。公理的建設(shè)就是數(shù)學(xué)的根的建設(shè)，最根本，最簡單，也最重要。對(duì)於它們的理解和反思肯定會(huì)創(chuàng)造出更神奇的數(shù)學(xué)。現(xiàn)在，我們理解歐氏幾何是一種中觀的幾何，他適用於我們的一般計(jì)算。不過涉及到宇宙宏觀或者粒子微觀世界，我們用的卻是非歐幾何。而這一點(diǎn)，恰好又告訴我們，公理和公設(shè)，隨著人類思想和實(shí)踐的進(jìn)步，也會(huì)不斷髮展，而且藉此又可以建設(shè)新的體系。這也是公理化思想的根本所在。
現(xiàn)在，不妨思考一個(gè)有趣的問題，爲(wèi)什麼剛好是五個(gè)公理，五個(gè)公設(shè)呢？難道與中國“五行”對(duì)應(yīng)？當(dāng)然不是。我們知道單一的公理，是無法進(jìn)行任何有效的計(jì)算推演的。雖然我們可以清楚地看到五大公理之間有著某種單向的聯(lián)繫，可是這些依然得靠規(guī)定，不然當(dāng)年?duì)?wèi)什麼不加上“等量乘以減等量，其積仍相等”“等量除以等量，其商仍相等”呢？而且我們現(xiàn)在也知道，其實(shí)嚴(yán)格地說還需要更多的公設(shè)，比如有人發(fā)現(xiàn)，《原本》中的第一卷第一個(gè)命題的推理，就出了問題：在一個(gè)已知有限直線上作一個(gè)等邊三角形。（如圖1.2）
設(shè)ab是已知有限直線.那麼，要求在線段ab上作一個(gè)等邊三角形.
以a爲(wèi)心，且以ab爲(wèi)距離畫圓bcd；[公設(shè)3]
再以b爲(wèi)心，且以ba爲(wèi)距離畫圓ace：[公設(shè)3]
由兩圓的交點(diǎn)c到a，b連線ca，cb。[公設(shè)1]
因爲(wèi)，點(diǎn)a是圓cdb的圓心，ac等於ab。[定義15]
又點(diǎn)b是圓cae的圓心，bc等於ba。
但是，已經(jīng)證明了ca等於ab；所以線段ca，cb都等於ab。
而且等於同量的量彼此相等[公理1]
三條線段ca,ab,bc彼此相等。
所以三角形abc是等邊的，即在已知有限直線ab上作出了這個(gè)三角形。
這就是所要求作的。
以上這個(gè)方法，是運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)的尺規(guī)作圖，而且還是典範(fàn)的運(yùn)用個(gè)公理和公設(shè)進(jìn)行證明。可是其中也有一個(gè)內(nèi)容被忽略了，雖然這裡作圖規(guī)範(fàn)，但其實(shí)還少了一個(gè)公設(shè)，就是分別由a和b爲(wèi)圓心，ab爲(wèi)距離所作的圓bcd和圓ace至少有一個(gè)交點(diǎn)c。也許我們都會(huì)認(rèn)爲(wèi)，畫出來就有啊，但是畫出來有並不一定存在，它可能只是個(gè)偶然性而已，而缺乏絕對(duì)的必然性。這一點(diǎn)非常重要！就如第5公設(shè)一樣，我們畫再多的不平行線都可以成功，但是我們無法證明它，所以它必須是公設(shè)，而不是什麼能夠推導(dǎo)出來命題。天地日月皆有缺，《原本》的缺憾是什麼？沒有人能夠說清楚到底“公理”有哪些？因爲(wèi)“公理”的存在，依賴的是我們?nèi)祟悓?duì)於世界的認(rèn)知，而這一認(rèn)知是個(gè)不斷進(jìn)步的過程。由此可見，五大公理和五大公設(shè)是比較和諧，比較優(yōu)雅的一個(gè)數(shù)字，數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)字有點(diǎn)迷信也是自然的。太多了，顯得羅嗦，太少了用起來又會(huì)不方便。而且這也只是代表了當(dāng)時(shí)的優(yōu)雅成果而已。
五大公理和五大公設(shè)的奧妙在於，憑藉它們居然可以推演出整個(gè)幾何學(xué)系統(tǒng)，而且顯得那麼無懈可擊。最著名的例子要推英國哲學(xué)家霍布士（,1588～1679）。下面是歐布烈()精彩的描寫：那時(shí)，霍布士已年過40歲，在一個(gè)偶然機(jī)會(huì)下，他遇見了幾何學(xué)。他無意中在圖書館裡看到歐氏《幾何原本》，正好打開在第一冊(cè)的第47個(gè)定理，即勾股定理。讀了該定理後，他的第一個(gè)反應(yīng)是“我的天啊，這怎麼可能！”他研讀其證明，發(fā)現(xiàn)要用到前面的定理，於是翻到前面讀之，又要用到更前面的定理，如此不斷地逆溯倒讀，最後終於來到幾何的源頭，即公理。霍布士於是肯定了勾股定理的真確性，也愛上了幾何學(xué)[6]。我們現(xiàn)在看起來都會(huì)感覺相當(dāng)神奇。這一種體系反映出來的思維，又是和五行思維相同了。《孫子兵法?勢(shì)篇》中說：“聲不過五，五聲之變。不可勝聽也。色不過五，五色之變，不可勝觀也。味不過五，五味之變不可勝嘗也。”其實(shí)也就是這樣的道理。
牛頓開始覺得歐幾里得幾何太過於簡單，後來他發(fā)現(xiàn)了歐幾里得的價(jià)值，不僅熱心地向別人推薦它，還仿照《幾何原本》的體系，從定義和定律出發(fā)，導(dǎo)出命題，再把結(jié)論和實(shí)驗(yàn)結(jié)果相比較，以公理化模式完成了《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》。愛因斯坦也深受《幾何原本》影響，他在《自述》中說，“在12歲時(shí)，我經(jīng)歷了另一種性質(zhì)完全不同的驚奇：這是在一個(gè)學(xué)年開始時(shí)，當(dāng)我得到一本關(guān)於歐幾里得平面幾何的小書時(shí)所經(jīng)歷的。這本書裡有許多斷言，比如，三角形的三個(gè)高交於一點(diǎn)，它們本身雖然並不是顯而易見的，但是可以很可靠地加以證明，以至任何懷疑似乎都不可能。這種明晰性和可靠性給我造成了一種難以形容的印象。至於不用證明就得承認(rèn)公理，這件事並沒有使我不安。如果我能依據(jù)一些其有效性在我看來是無容置疑的命題來加以證明，那麼我就完全心滿意足了。[7]”這段話，可以讓我們看到了愛因斯坦對(duì)公理意義的非凡理解。公理、公設(shè)、定義就好像是七巧板，運(yùn)用它們可以組合成幾乎一切的圖形，而因爲(wèi)它們是大家接受的“真實(shí)”，所以組合而成的也是“真實(shí)”。而且這些真實(shí)可以超越我們的感官，是確切的必然的。正是因爲(wèi)他體會(huì)了這些，纔有了他在狹義相對(duì)論和廣義相對(duì)論中的成果，我們可以從他的思考過程中發(fā)現(xiàn)“公理化思想”是其思維的模式[8]。
吳文俊指出“東西方數(shù)學(xué)的異同，也就是現(xiàn)在歐美的數(shù)學(xué)跟東方數(shù)學(xué)(主要是古代的中國數(shù)學(xué))有什麼異同。我們學(xué)現(xiàn)代數(shù)學(xué)(也就是西方數(shù)學(xué))，主要內(nèi)容是證明定理；而中國的古代數(shù)學(xué)根本不考慮定理不定理，沒有這個(gè)概念，它的主要內(nèi)容是解方程。我們著重解方程，解決各式各樣的問題。[9]”中國數(shù)學(xué)曾經(jīng)取得輝煌的成就，可是在近代卻遲滯不前，關(guān)鍵一點(diǎn)就是中國缺乏這樣的“公理體系”，也缺乏這樣的“公理”思維，所以所有的收穫都是零碎的，無法統(tǒng)一起來，也缺乏一種有效的統(tǒng)一和總結(jié)。
總而言之，歐幾里得幾何是用公理方法建立演繹數(shù)學(xué)體系的最早典範(fàn)。公理化方法已經(jīng)幾乎滲透於數(shù)學(xué)的每一個(gè)領(lǐng)域，對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了不可估量的影響，公理化結(jié)構(gòu)已成爲(wèi)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的主要特徵。而且公理化思想已經(jīng)成爲(wèi)科學(xué)的思維基礎(chǔ)，對(duì)於各個(gè)學(xué)科的系統(tǒng)的建立，對(duì)於各個(gè)學(xué)科的發(fā)展都有著相當(dāng)重要的意義。
1.2定義的反思——完美定義就是不定義
其實(shí)在《幾何原本》中一開始列出來的是定義，不是公理。對(duì)於定義的反思，也是件有趣的事情。與公理公設(shè)的數(shù)量少而有限不同，歐幾里得的定義（按十三卷本），總共有132個(gè)。這麼多的定義，肯定容易出問題。
首先，是對(duì)於定義存在的懷疑，有數(shù)學(xué)家指出：《原本》第一卷就首先給出23個(gè)定義，前面7個(gè)定義（1.點(diǎn)是沒有部分的。2.線只有長度而沒有寬度。3.一線的兩端是點(diǎn)。4.直線是它上面的點(diǎn)一樣地平放著的線。5.面只有長度和寬度。6.面的邊緣是線。7.平面是它上面的線一樣地平放著的面）實(shí)際上只是幾何形象的直觀描述，後面的推理完全沒有用到。不過，這一點(diǎn)其實(shí)不重要，因爲(wèi)歐幾里得給出這些定義，很可能只是想要明確表達(dá)自己的一些概念理解。
其次，是對(duì)於定義本身的懷疑。克萊因批評(píng)說：“在這部著作中，歐幾里得當(dāng)時(shí)所給出的這些術(shù)語，並不是物質(zhì)實(shí)體本身，而是從物質(zhì)實(shí)體中抽象出來的概念。他說，點(diǎn)，就是不包括任何部分的東西。歐幾里得在下定義方面，走向了不必要，不明智的極端。一個(gè)具有邏輯結(jié)構(gòu)、自足的體系，必須從某一個(gè)起點(diǎn)開始。不能指望對(duì)每一個(gè)使用的概念都給出定義，因爲(wèi)下定義就是用其他的概念去描述一個(gè)概念，而前者又必須通過其他的概念來描述。很明顯，如果要使這個(gè)過程不至於循環(huán)……[1]”克萊因的評(píng)價(jià)，其實(shí)說的和“公理”的“先天”本質(zhì)差不多，定義尤其是具有原始意義的定義，必須是空缺的，不需具體的；而且這些不規(guī)範(fàn)的定義沒有影響研究，其實(shí)也揭示了這些定義的無意義。所以希爾伯特（d**idhilbert，1862～1943）1899年發(fā)表著名的《幾何基礎(chǔ)》一書。引入了“點(diǎn)”“線”“面”“通過”“在……之間”“相等”6個(gè)不加解釋的定義。被稱爲(wèi)對(duì)《幾何原理》工作的最好完善。
再次，克萊因認(rèn)爲(wèi)“並非所有的概念都能在一個(gè)獨(dú)立的系統(tǒng)中得到定義。所有的概念都源於一定的物質(zhì)實(shí)體，並且代表著這些物質(zhì)實(shí)體。但是，物質(zhì)的意義並不能給這種正式定義以任何幫助，因爲(wèi)它們並不是數(shù)學(xué)的內(nèi)容。令人驚奇的是，幾何學(xué)中的一些無法定義的概念，並沒有給研究帶來麻煩。[1]”他指出了物質(zhì)與定義之間一種微妙的關(guān)係，簡單地說就是物質(zhì)（現(xiàn)實(shí)世界）給我們帶來定義，可是它始終無法與數(shù)學(xué)的定義直接劃上等號(hào)。理解這一點(diǎn)很重要。比如彭羅斯和霍金一起發(fā)表“奇點(diǎn)定理”的報(bào)道，非常簡單地將其結(jié)果概括爲(wèi)“宇宙誕生自一個(gè)奇點(diǎn)”，然而，彭羅斯本人稱“奇點(diǎn)這個(gè)詞給人的印象好像本身暗示了什麼，其實(shí)那不過是‘這個(gè)數(shù)學(xué)模型用在這裡不很合適’的意思。”他還說，“太遺憾了。面向大衆(zhòng)的解釋的確常常就是這樣寫的……不過，我的真正意思其實(shí)是‘需要有新的理論’。[10]”如何理解彭羅斯這些話呢？按照目前的“大爆炸理論”，必須存在一個(gè)“奇點(diǎn)”，而這個(gè)概念超出了人類的理解，我們覺得這是不可能的，甚至連最純粹的數(shù)學(xué)都無法與這樣的概念相對(duì)應(yīng)。可是事實(shí)又多次證明，宇宙的真相總是超乎人類狹隘的“常識(shí)”。如彭羅斯所言，這代表新的理論來解釋。
最後，有人認(rèn)爲(wèi)歐幾里德的定義含混不清。其實(shí)，“含混不清”是表述與理解必然存在的矛盾。歐幾里德的表述，在幾千年前，和中國的文言文差不多，限制於文化傳播工具，不可能詳細(xì)，所以我們現(xiàn)在來看必然有這樣的問題。而且，定義體現(xiàn)著人類對(duì)於物質(zhì)世界認(rèn)知的進(jìn)步和發(fā)展，所以總是有其時(shí)效性。比如，對(duì)於“時(shí)間”“空間”“零”這些基本的概念，到現(xiàn)在依然在不斷地進(jìn)行深入，而優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家、自然科學(xué)家總是抓住了關(guān)鍵，把握到被別人忽略的屬性，創(chuàng)造出新的“定義”，牛頓理解“線是移動(dòng)的點(diǎn)留下的軌跡，面是移動(dòng)的線形成的”，如果不這麼思考，那麼只有位置，沒有大小的“點(diǎn)”連起來就可以是“線”麼？無數(shù)的沒有寬度、只有長度的“線”，可以連接成“面”麼？
可見“定義”，尤其是基本的定義，如果能夠作到“若有若無”，讓大家都能夠體會(huì)“此中有真意，欲辨已忘言”，纔是最好的。而完美的定義，只能是不定義。更重要的是，定義是研究的基礎(chǔ)，它體現(xiàn)著極大的思想性和關(guān)鍵性。
1.3具體方法——幾近於道
留存的歐幾里得資料很少，我們無法知道他工作的具體過程，只知道《幾何原本》是集大成之作，所以，我們只能從《幾何原本》中具體的證明過程，探討他的思維方法。
歐幾里得運(yùn)用的方法不多，但是運(yùn)用自如了，又好像可以解決所有問題。而且仔細(xì)思考就會(huì)發(fā)現(xiàn)，《幾何原本》幾乎涵蓋了數(shù)學(xué)思維的方法，可以稱“大盈若衝，其用不窮”，幾近乎道。
1.3.1綜合法與分析法——基本的思維方法
有人稱歐幾里得提出綜合法和分析法。這樣的說法是很不牢靠的，雖然這兩種方法是數(shù)學(xué)的基本方法，而且很自然，也很必然地可以在歐幾里得的證明中找到這樣的思路。但歐幾里得沒有也不可能明確提出這樣的概念和說法。我們只能妥帖地稱：歐幾里得示範(fàn)地規(guī)定了幾何證明的方法，包括綜合法和分析法。
綜合法和分析法，是最簡單最基本，也最通俗的思維方式。證明一個(gè)命題的正確時(shí)，我們先從已知的條件出發(fā)，通過一系列已確立的公理、定義、命題，逐步推演，直到要證明的結(jié)果，這種思維方法，就叫做綜合法。而很明顯這是我們正常的思維順序，即“由因?qū)Ч薄Ｏ喾吹兀葟慕Y(jié)論出發(fā)，然後追究它成立的原因，再看這些原因成立又需要什麼條件，如此逐步往上逆求，直至達(dá)到已知的事實(shí)，這樣一種思維方法就叫做分析法，也即“執(zhí)果索因”。歐幾里得一般的證明過程的描述，都可以讓我們看到綜合法的運(yùn)用；當(dāng)然體現(xiàn)綜合法的表述，很可能思考過程卻是採用了相反的分析法，就像我們解題一樣，可以從結(jié)論逆推，然後按順序書寫答案。
具體而言，關(guān)鍵只在於以什麼爲(wèi)先以什麼爲(wèi)後。我們一般思考問題也是如此，1912年蔡元培擔(dān)任教育部部長，剛上任他就和朋友兼搭檔——次長範(fàn)源濂有了一個(gè)爭論：範(fàn)認(rèn)爲(wèi)小學(xué)沒辦好，怎麼能辦好中學(xué)，中學(xué)沒辦好，怎麼能辦好大學(xué)，所以教育的重中之重就是整頓小學(xué)；蔡則認(rèn)爲(wèi)沒辦好大學(xué)，中學(xué)師資從哪裡來？沒辦好中學(xué)，小學(xué)的師資哪裡來？所以應(yīng)當(dāng)整頓大學(xué)。[11]爭論的結(jié)果當(dāng)然是同時(shí)進(jìn)行。這就體現(xiàn)了兩種處理問題的思維方式，一是自上而下，一是自下而上。而且有這兩種，當(dāng)然就必然有第三種，從兩頭到中間，而有第三種就有第四種：從中間到兩頭。
比如，“全球變暖”引發(fā)科學(xué)家對(duì)於二氧化碳的研究，要研究地球二氧化碳的變化是個(gè)很困難的過程。爲(wèi)了對(duì)更久遠(yuǎn)的二氧化碳水平有所認(rèn)識(shí)，研究人員不得不依靠間接的方法：查看化石葉片中的氣孔密度。植物需要讓二氧化碳進(jìn)入氣孔，也通過這些氣孔失去水分，植物通常沒有不必要的東西。美國康涅狄格州米德爾頓衛(wèi)斯理大學(xué)的丹納?羅耶（danaroyer）說：“人們觀察到，在二氧化碳增加時(shí)，很多植物的氣孔密度減少，這趨向於是一種物種特異性反應(yīng)。”[12]這一方法，其實(shí)就是從兩頭推中間，這在具體的解決問題中更常見，也更能體現(xiàn)出思維的能力。我們總是存在“已知”和“想知”，就是不能一步步順序推理，所以必須找到中間的某個(gè)點(diǎn)，以此連接前後，形成明確的科學(xué)邏輯過程。就如這一成功案例，我們知道現(xiàn)在的二氧化碳情況，但是對(duì)於過去我們不清楚，想知道。這裡沒有一個(gè)必然的推理過程，所以我們只能運(yùn)用已知的二氧化碳跟植物關(guān)係的知識(shí)，和利用存在的植物化石來研究。
可能歐幾里得在具體的思維過程中，運(yùn)用過這樣的方法，只是我們無法看到；所以康託創(chuàng)造“對(duì)角線法”可以說是方法上的真正創(chuàng)造，“對(duì)角線法”體現(xiàn)了一種由內(nèi)而外的技巧（具體參考下文康託部分）。
1.3.2切分與延伸思維——對(duì)單一事物的處理方法
在《幾何原本》的第一卷中，我們可以看到很多簡單而好像沒有意義的作圖證明。其實(shí)這一切都是必要的鋪墊。就霍布士的感悟，可以看到它們都是爲(wèi)“勾股定理”這樣的大命題，甚至是一切幾何證明作鋪墊。比如，命題9（“二等分一個(gè)已知直線角”）、命題10（“二等分已知有限直線”）和命題11（“由已知直線上一已知點(diǎn)作一直線和已知直線成直角”）、命題12（“由已知無限直線外一已知點(diǎn)作該直線的垂線”），其實(shí)說到底只是指出“二等分角和線”“作垂線”是必然可行的。而命題31（“過一已知點(diǎn)作一直線平行於已知直線”）和命題1（“在一個(gè)已知有限直線上作一個(gè)等邊三角形”）、命題46（“在已知線段上作一個(gè)正方形”）也只是指出作平行線、外接等腰三角形、外接正方形的必然可行性。這兩類其實(shí)是對(duì)某一幾何對(duì)象的處理方法：一是切分、一是延展。歐幾里得其實(shí)就是運(yùn)用了這兩種簡單而根本的方法來解決問題的。
具體而言，我們來看看命題10的證明。（如圖1.3）
二等分已知有限直線.
設(shè)ab是已知道有限直線，那麼，要求二等分有限直線ab.
設(shè)在ab上作一個(gè)等邊三角形abc.［1.1］
且設(shè)直線cd二等分角acb.［1.9］
則可證線段ab被點(diǎn)d二等分.
事實(shí)上，由於ac等於cb，且cd公用；兩邊ac、cd分別等於兩邊bc、cd；且角acd等於角bcd.
所以，底ad等於底bd.［1.4］
從而，將已知有限直線ab二等分於點(diǎn)d.作完
這裡運(yùn)用了卷一中的命題1、9、4，來證明可以二等分已知有限直線。具體來說，運(yùn)用命題1只是爲(wèi)了作外接等邊三角形，運(yùn)用命題9只是爲(wèi)了作角平分線。通過對(duì)直線ab的延展，再切分，終於解決了問題。如果不這樣處理，單一的一條線，幾乎沒有思考和處理的可能。這點(diǎn)聯(lián)繫我們平常處理問題，如果是對(duì)某一個(gè)獨(dú)立問題的思考，要麼對(duì)該問題進(jìn)行分解分析，要麼聯(lián)繫其他相關(guān)問題來解決問題，否則無從下手。
這也就是說明，其實(shí)，歐幾里得在具體處理問題時(shí)，運(yùn)用了兩種非常簡單的技術(shù)性思維：延展與切分。而延展和切分的具體措施，除了上面提到的那些還有很多。但不管有多少，其基本的思路很簡單，就是延展與切分。延展與切分，與中國哲學(xué)“一陰一陽之謂道”一樣，雖然簡單，但是卻是根本，運(yùn)用起來效用無窮。
又比如《幾何原本》第一卷命題5：等腰三角形兩底角相等。因爲(wèi)單獨(dú)一個(gè)等腰三角形是無法進(jìn)行任何分析討論的，所以必須作延長線，建立新的三角形，並使它們產(chǎn)生關(guān)係，這樣才能夠進(jìn)行分析討論。此外的思路，必然地，就是作頂角的平分線或者作頂點(diǎn)到底邊的垂線，而目的到頭來也是建立新的三角形，並使它們產(chǎn)生關(guān)係，這樣都可以解決問題，可以說是殊途同歸。
1.3.3歸謬法和窮竭法——無窮與有限的轉(zhuǎn)換
歐幾里得的《幾何原本》還記錄、使用了歸謬法、窮竭法。
在《幾何原本》第一卷命題6的證明中，歐幾里得就運(yùn)用了歸謬法。歸謬法是在保留命題的假設(shè)下，否定結(jié)論，從結(jié)論的反面出發(fā)，由此導(dǎo)出和已證明過的事實(shí)相矛盾或和已知條件相矛盾的結(jié)果，從而證實(shí)原來命題的結(jié)論是正確的，也稱作反證法。
很多時(shí)候我們走一個(gè)方向，卻怎麼也無法到達(dá)；但這時(shí)候我們?nèi)绻麚Q個(gè)方向，也許有意外的收穫。歸謬法就是這麼一個(gè)巧妙的方法。它告訴我們要懂得改變思維的方向。以最著名的素?cái)?shù)（即質(zhì)數(shù)）定理爲(wèi)例，《幾何原本?第九卷》列出的命題20：“預(yù)先給定任意多個(gè)素?cái)?shù)，則有比它們更多的素?cái)?shù)”。這裡，歐幾里得故意迴避“無窮”的概念，原命題其實(shí)也就是指出“素?cái)?shù)有無窮多個(gè)”。對(duì)於“無窮”我們沒有辦法直接處理；所以，我們反過來設(shè)定：
假設(shè)質(zhì)數(shù)只有有限多個(gè)。
由此可設(shè)最大質(zhì)數(shù)爲(wèi)p。
明顯，將q除以任何質(zhì)數(shù)都餘1，
所以q亦應(yīng)是質(zhì)數(shù)。
因此，q是一個(gè)比p還要大的質(zhì)數(shù)。
這是不可能的。
所以質(zhì)數(shù)有無窮多個(gè)。（證完）
可見，歸謬法，不僅是逆方向的思考，而且還爲(wèi)我們提供了一套解決“無限”的方法。人類的感知和測(cè)量是有限的，所以面對(duì)無限的問題，必須先把它轉(zhuǎn)換爲(wèi)有限的問題。而歸謬法一開始就是“化無限爲(wèi)有限”的利器。
我們這裡的證明是現(xiàn)代簡化的方法，歐幾里得用的方法是“量盡”的方法，表述比較麻煩。不過，歐幾里得的方法，其實(shí)也把幾何圖形和數(shù)（而且是不確定的數(shù)）聯(lián)繫起來。這也是解決問題時(shí)，常用的一種變換。後來出現(xiàn)的函數(shù)，也是實(shí)現(xiàn)幾何與代數(shù)間的變換的方法。而“量盡”，其實(shí)又與“窮竭法”的手段有關(guān)。
窮竭法（methodofexhaustion），“窮竭”一詞起源於古希臘數(shù)學(xué)家安蒂豐（antiphon，―480？～―411？）的表述，他曾提出“從圓內(nèi)接正多邊形開始，將其邊數(shù)加倍，可得到一個(gè)新的圓內(nèi)接正多邊形，再將其邊數(shù)加倍，這樣不斷地作下去，‘最後’的多邊形必將與圓重合”[13]。安蒂豐提出這思路，並以此來解決化圓爲(wèi)方的問題。這和老子提出的“大方無隅”（最方正的形體沒有棱角）意思相同。莊子也在《天下篇》中提到：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭。”三國的劉徽也是藉此思路，提出的計(jì)算圓周率的科學(xué)方法——割圓術(shù)。
在《幾何原本》中，歐幾里得證明了“給出兩個(gè)不相等的量，若從較大的量中減去一個(gè)大於它的一半的量，再從所得的餘量中減去大於這個(gè)餘量一半的量，並且連續(xù)這樣下去，則必得一個(gè)餘量小於較小的量。”[14]具體在證明這一命題中，爲(wèi)了解決不確定數(shù)量（這樣才更又代表性）的問題，歐幾里得還是運(yùn)用了“歸謬法”。而且證明了這一命題，歐幾里得也得到了“窮竭法”的理論基礎(chǔ)。之後，歐幾里得還運(yùn)用窮竭法證明了第十二卷的第2、5、10、18個(gè)命題。
歸謬法和窮竭法的關(guān)鍵說到底目標(biāo)就是“化無限爲(wèi)有限”“化不確定爲(wèi)確定”。這一思路，既推動(dòng)了代數(shù)學(xué)的發(fā)展，也促進(jìn)了“微積分”的形成。
總之，不論是沿正常順序思考，還是逆向推理；是切分還是延伸，是幾何與代數(shù)間的轉(zhuǎn)換；是無限與有限的轉(zhuǎn)換，還是確定與不確定的轉(zhuǎn)換。各種各樣的論證方法，都有一個(gè)根本的思維，就是利用這樣的思維模式而創(chuàng)造出來的具體方法。正如《道德經(jīng)》所言：“有無相生，難易相成，長短相形，高下相盈，音聲相和，前後相隨。恆也。”整個(gè)《幾何原本》的體系，其實(shí)可以用老子的思想來理解：太極就是最初的“道”，就是先天的公理和“無需定義”的定義；陰陽的對(duì)應(yīng)和變化，就是方法的運(yùn)用和命題的證明。
註釋：
[1]引自《西方文化中的數(shù)學(xué)》[美]莫里斯?克萊因（morriskline）著張祖貴譯復(fù)旦大學(xué)出版社2005
[2]引自《幾何原本?後記》。《幾何原本》[古希臘]歐幾里得著蘭紀(jì)正朱恩寬譯陝西科學(xué)技術(shù)出版社2003
[3]轉(zhuǎn)引自m.克萊因《西方文化中的數(shù)學(xué)》。相關(guān)內(nèi)容還可以參考本書“九、邏輯學(xué)1.4論證的方法與反思”部分。
[4]這一部分中，涉及《幾何原本》原著的內(nèi)容，如無另外標(biāo)明，均引自蘭紀(jì)正、朱恩寬翻譯，陝西科學(xué)技術(shù)出版社2003年出版的版本。
[5]張順燕是北大數(shù)學(xué)教授，語見《相識(shí)數(shù)學(xué)》。《相識(shí)數(shù)學(xué)》中央電視臺(tái)《百家講壇》欄目組編中國人民大學(xué)出版社2004
[6]轉(zhuǎn)引自蔡聰明《從畢氏學(xué)派到歐氏幾何的誕生》，《科學(xué)月刊》第二十六卷第二期～第七期
[7]《愛因斯坦文集》（第1卷）許良英範(fàn)岱年編譯商務(wù)印書館1976
[8]具體內(nèi)容可參考本書“二、物理2.1相對(duì)論”部分。
[9]《東方數(shù)學(xué)的使命》吳文俊2003年11月28日在“中國科學(xué)家人文論壇”上的演講。
[10]轉(zhuǎn)引自《大爆炸——宇宙通史》[英]帕特里克?摩爾[英]布賴恩?梅[英]克里斯?林陶特著李元譯廣西科學(xué)技術(shù)出版社2009。一般科普著作中，這樣理解：宇宙的最初是一個(gè)密度無窮大的點(diǎn)，即質(zhì)量集中在大小爲(wèi)零的一個(gè)點(diǎn)上。當(dāng)然，這很明顯不是彭羅斯的原意。
[11]引自《同舟共進(jìn)》2010.4總262期《蔡元培：是真虎乃有風(fēng)》王開林
[12]《科學(xué)新聞》2010.14總424期《氣候控制：真要二氧化碳負(fù)責(zé)嗎？》呂靜編譯
[13]轉(zhuǎn)引自《幾何原本?再版後記》
[14]《幾何原本》第十卷命題1。原句表述不夠簡潔，可以理解爲(wèi)a大於b，如果從a中減去超過一半，不斷這樣處理，最終可以得到一個(gè)a，這個(gè)a反而比b小。